Collected Essays from “Das Goetheanum” 1921–1925
GA 36
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Goethe and Mathematics
From the book by Croce, one can clearly see how the way of thinking in the present day still prevents even outstanding minds from gaining the right access to Goethe's work. Among the various obstacles that arise for such minds, the misunderstanding of Goethe's relationship to mathematics is one of the most effective. From this it can be seen that Goethe had no skill in the treatment of mathematical problems. He himself admitted his inability in this respect sufficiently strongly. In his scientific works, therefore, one never finds the problems worked out in those areas in which a mathematical treatment is required by the nature of the subject.
Now, in the period that followed Goethe, mathematical treatment was regarded as essential for those parts of knowledge of nature that are considered to be truly exact. It was under the same impression that Kant had been under when he expressed the view that there is only as much real science in any knowledge as mathematics is contained in it. For this way of thinking, the rejection of Goethe's scientific approach is sealed from the outset.
But when it comes to assessing Goethe's relationship to mathematics, something quite different comes into play.
The study of mathematics gives a person a special position in relation to the penetration of the cognitive tasks themselves. In mathematical thinking, one deals with something that arises within the human soul. One does not look outwards, as in sensory experience, but builds up the content of thought purely within. And by thinking one's way from one mathematical structure to another, one does not have to rely on the evidence of the senses or of external experimentation, but remains entirely within one's inner soul life; one is dealing with an inner, conceptual view. One lives in the realm of the freely creative spirit.
Novalis, who was equally at home in the field of mathematics as in that of the free creative poetic imagination, saw in the former a perfect imaginative creation.
In more recent times, however, this trait has been denied in mathematics. It has been thought that this field of knowledge also borrows its truths from sensory observation, like an external experimental science, and that this fact is merely beyond human attention. It was only believed that one formed the mathematical forms oneself because one did not become aware of the borrowing from external observation. But this view has arisen only out of prejudice, which refuses to admit any free activity of the human mind. We are willing to accept scientific certainty only where we can rely on the statements of sense observation. And so, because the certainty of its truths cannot be denied, mathematics is also said to be a sense science.
Because in mathematics we live in the realm of the free creative spirit, its essence can be most clearly seen in inner self-knowledge. If one turns one's attention away from the structures that one works out in mathematical activity and back to that activity itself, one becomes fully aware of what one is doing. Then one lives in a kind of free creative spirituality.
One must only then summon up the flexibility of soul to extend the same creative inner activity that one unfolds in mathematics to other areas of inner experience. In this flexibility of soul lies the power to ascend to imaginative, inspired and intuitive knowledge, of which this weekly journal has often spoken.
In mathematics, every step one takes is inwardly transparent. One does not turn to the outside with the soul in order to determine the being of the other through the being of the one. One does, however, remain in a realm that, although created inwardly, relates to the external world through its own nature. Mathematics originates in the soul, but relates only to the non-spiritual. When the freely creative activity of the spirit ascends to the types of knowledge mentioned, however, one comes to grasp the soul itself and the realm of the world in which the soul lives.
Goethe's spiritual nature was such that he felt no need to cultivate mathematics himself. But his way of knowing was of a completely mathematical nature. He took in what concerned external nature through pure, refined observation, but then transformed it in his inner experience so that it became one with his soul, as is the case with freely created mathematical forms. Thus his thinking about nature became, in the most beautiful sense, a mathematical one. As a thinker of nature, Goethe was a mathematical spirit without being a mathematician.
He was just as open about his lack of knowledge of mathematics as he was about the mathematical direction of his way of looking at things. You can read about this in the essays that conclude his works on natural science under the title “On Natural Science in General. In this work he also stated that in all knowledge one must proceed as if one owed an account of one's findings to the strictest mathematician.
Through this direction of his quest for knowledge, Goethe was particularly predisposed to introducing a true scientific method of research into those scientific fields that cannot be determined by measure, number and weight because they are not quantitative but qualitative in nature. The opposing view wants to limit itself to what can be measured, counted and weighed, and leaves the qualitative as scientifically unattainable. It denies Goethe scientific validity because it does not see how he extends the rigor of research, which it demands where actual mathematics is applicable, to fields of knowledge where this is no longer the case.
Only when Goethe's methods of thought can be truly understood in this direction will it be possible to gain an unbiased judgment of the relationship between his knowledge and art. Only then will it be possible to see what the further development of his way of thinking can bring, both for art and for science.
Goethe und die Mathematik
Aus dem Buche Croces kann man deutlich erkennen, wie die Denkweise der Gegenwart auch hervorragende Geister noch verhindert, den rechten Zugang zu Goethes Wirken zu gewinnen. Unter den verschiedenen Hindernissen, die sich für solche Geister ergeben, ist die Verkennung von Goethes Verhältnis zur Mathematik eines der wirksamsten. Man sieht daraus, daß Goethe in der Behandlung mathematischer Aufgaben keine Fertigkeit hatte. Er hat sein Unvermögen nach dieser Richtung ja selbst genügend stark bekannt. In seinen naturwissenschaftlichen Arbeiten findet man daher nirgends die Probleme nach denjenigen Gebieten hin ausgeführt, auf denen eine mathematische Behandlung durch die Natur der Sache gefordert wird.
Nun hat die auf Goethe folgende Zeit für die Teile der Naturerkenntnis, die man als die eigentlich exakten betrachtet, die mathematische Behandlung als ein wesentliches angesehen. Sie stand ganz unter demselben Eindrucke, unter dem auch Kant gestanden hat, als er die Ansicht aussprach, daß in jeder Erkenntnis nur so viele wirkliche Wissenschaft sei, als in ihr Mathematik enthalten ist. Für diese Denkungsart ist die Ablehnung von Goethes naturwissenschaftlicher Anschauungsart von vornherein besiegelt.
Aber für die Beurteilung von Goethes Verhältnis zur Mathematik kommt noch etwas ganz anderes in Betracht.
Die Beschäftigung mit Mathematik gibt dem Menschen eine besondere Stellung zu der Durchdringung der Erkenntnisaufgaben selbst. Im mathematischen Denken beschäftigt man sich mit etwas, das innerhalb der menschlichen Seelenarbeit entsteht. Man sieht nicht, wie bei der Sinneserfahrung, nach auBen, sondern baut sich den Gedankeninhalt rein im Innern auf. Und indem man von einem mathematischen Gebilde zu dem anderen denkend fortschreitet, braucht man sich nicht an die Aussagen der Sinne oder des äußeren Experimentes zu halten, sondern man bleibt ganz im inneren Seelenleben; man hat es mit einer innern ideellen Anschauung zu tun. Man lebt im Gebiet des frei schaffenden Geistes.
Novalis, der im Gebiete der Mathematik wie in dem der frei schaffenden dichterischen Phantasie gleich zu Hause war, sah in der ersteren eine vollkommene Phantasieschöpfung.
Man hat zwar in der neueren Zeit der Mathematik diesen Charakterzug abgesprochen. Man hat gemeint, auch dieses Erkenntnisgebiet entlehne ihre Wahrheiten wie eine äußsre Experimentalwissenschaft der Sinnesbeobachtung, und es entziehe sich diese Tatsache nur der menschlichen Aufmerksamkeit. Man glaubte nur, man bilde die mathematischen Formen selber aus, weil man sich der Entlehnung aus der äußeren Beobachtung nicht bewußt werde. — Doch diese Ansicht ist nur aus dem Vorurteile heraus entstanden, das eine freischaffende Tätigkeit des menschlichen Geistes überhaupt nicht zugeben will. Man möchte wissenschaftliche Gewißheit nur da gelten lassen, wo man sich auf die Aussagen der Sinnesbeobachtung stützen kann. Und so soll auch Mathematik, weil man die Gewißheit ihrer Wahrheiten nicht bestreiten kann, eine Sinneswissenschaft sein.
Dadurch, daß man mit der Mathematik in dem Gebiete des frei schaffenden Geistes lebt, ist dessen Wesenheit an ihr am deutlichsten in innerer Selbsterkenntnis unmittelbar einzusehen. Lenkt man die Anschauung von den Gebilden, die man in mathematischer Betätigung ausarbeitet, zurück auf diese Betätigung selbst, wird man sich dessen voll bewußt, was man tut, dann lebt man in einer Art frei schaffender Geistigkeit.
Man muß nur dann weiter die Beweglichkeit der Seele aufbringen, um dieselbe schöpferische Innentätigkeit, die man in der Mathematik entfaltet, auf andere Gebiete des inneren Erlebens auszudehnen. In dieser Beweglichkeit der Seele liegt die Kraft, zur imaginativen, inspirierten und intuitiven Erkenntnis aufzusteigen, von denen in dieser Wochenschrift ja öfters gesprochen worden ist.
In der Mathematik ist jeder Schritt, den man macht, innerlich durchsichtig. Man wendet sich mit der Seele nicht nach außen, um durch das Sein des Einen das des Andern festzustellen. Man bleibt dabei allerdings in einem Gebiete, das zwar innerlich geschaffen ist, aber sich durch sein eigenes Wesen auf die Außenwelt bezieht. Die Mathematik entsteht in der Seele, bezieht sich aber nur auf Außer-Seelisches. Beim Aufsteigen der frei schaffenden Geistestätigkeit zu den genannten Erkenntnisarten kommt man aber zum Erfassen des Seelischen selbst und des Weltgebietes, in dem die Seele lebt.
Goethes Geisteswesen war nun ein solches, daß er die Mathematik selbst zu pflegen keine Veranlassung empfand. Aber sein Erkennen war von ganz mathematischer Art. Er nahm, was die äußere Natur betrifft, durch eine reine, geläuterte Beobachtung auf, verwandelte es aber dann im inneren Erleben so, daß es mit seinem Seelenwesen Eins wurde, wie das bei den freigeschaffenen mathematischen Formen der Fall ist. So wurde sein Denken über die Natur im schönsten Sinne ein dem mathematischen nachgebildetes. Goethe war als Naturdenker ein mathematischer Geist, ohne Mathematiker zu sein.
Wie er sich über seine Nichtkenntnis der Mathematik offen ausgesprochen hat, so hat er dies auch über die mathematische Richtung seiner Anschauungsart getan. Man kann darüber seine Ausführungen in den Aufsätzen lesen, die seine naturwissenschaftlichen Arbeiten unter dem Titel «Zur Naturwissenschaft im Allgemeinen. Verhältnis zur Mathematik » beschließen. Er hat da auch den Satz ausgesprochen, daß man bei aller Erkenntnis so verfahren müsse, als ob man dem strengsten Mathematiker für seine Ergebnisse Rechenschaft schuldig wäre.
Durch diese Richtung seines Erkenntnisstrebens war Goethe besonders dazu veranlagt, eine wahre naturwissenschaftliche Forschungsart in diejenigen wissenschaftlichen Gebiete hineinzutragen, die sich nicht nach Maß, Zahl und Gewicht bestimmen lassen, weil sie nicht das Quantitative, sondern das Qualitative zu ihrem Wesen haben. Die ihm entgegengesetzte Anschauungsart will sich auf das Meß-, Zähl- und Wägbare beschränken und läßt das Qualitative als wissenschaftlich unerreichbar liegen. Sie spricht Goethe die Wissenschaftlichkeit ab, weil sie nicht durchschaut, wie er gerade die Strenge des Forschens, die sie da fordert, wo die eigentliche Mathematik anwendbar ist, ausdehnt auf Erkenntnisfelder, wo dies nicht mehr der Fall ist.
Erst, wenn Goethes Denkmethoden nach dieser Richtung wirklich durchschaut werden können, wird man auch ein unbefangenes Urteil über die Beziehung gewinnen können, in der bei ihm Erkennen und Kunst gestanden haben. Man wird erst dadurch sehen, was die Fortentwicklung seiner Geistesart Fruchtbares sowohl für Kunst wie für Wissenschaft zu bringen vermag.